二阶Thevenin锂电池等效模型参数离线辨识

近年来，作为电动汽车核心部件的锂电池，因为循环使用寿命长、重量轻、能量密度高、无污染和性价比高等优点，成为研究的热点[1-4]。由于电动汽车仿真技术的需要和锂电池重要性能参数剩余电量（SOC）的估算的需要，建立准确的锂电池模型有着重要的意义[5-6]。

在数学知识体系的构建中，数学概念的建立是必不可少的。《小学数学新课程标准》明确指出：“改进数学概念教学，强调通过实际情境使学生体念、感受和理解。”因此在教学过程中，一旦引出概念，就必须揭示事物的本质属性与共同特征，弄清楚概念产生的原由。概念是抽象的、严密的，并且蕴含着丰富的内涵。如何引导学生学习抽象的概念呢？这需要教师从学生日常生活中所熟悉的事物入手，将严密且抽象的概念通过创设生动且真实的问题情境引入，使学生明确问题、自主探究、通过小组协作的方式完成学习任务，这也成为了概念课教学的研究方向，同时也与抛锚式教学的环节相辅相成。因此，可以认为小学数学概念课的教学是基于真实问题的抛锚式教学。

目前常用的模型有电化学模型和电模型，其中电化学公式模型，考虑的因素较多，需要对锂电池的电化学反应有一定来了解，且在复杂工况情况下，该模型误差较大[7]。等效电路模型是电子元器件描述电池的外部特性，目前常见的有Thevenin模型、PNGV模型、Rint模型、GNL模型。其中因为Thevenin模型相比其他模型简单，且能很好体现电池池的动态特性。而二阶Thevenin模型在一阶Thevenin模型的基础上多加入了一个RC回路，能更准确的模拟电池的充放电行为[8-9]。

因此，文中采用二阶Thevenin等效模型作为研究目标。作为多元非线性回归模型，参数辨识的通常做法为，把非线性参数线性化，然后再使用例如最小二乘法的方法进行拟合[10-11]。而在在二阶Thevenin等效模型中存在无法线性化的非线性参数，本文通过实验采集的有限量测数据，使用梯度下降算法，通过建立目标函数，在负梯度方向上递归性的逼近设定的阈值，从而得到辨识结果。通过仿真结果与实验结果的比较验证了该参数辨识的准确性。

1 电池模型的建立

一般来说，一个优良的电池模型要能够准确描述电池的动静态特性，模型本身复杂度数较低，且工程实现较为容易。二阶Thevenin等效电路模型能很好的体现锂电池的非线性特征，如图1所示，该模型在一阶Thevenin等效电路模型加入了RC环路，更能准确的描述电池的响应特性，具有结构简单、描述准确的特点。

图1 二阶Thevenin等效电路模型

该模型数学表达式如下所示：

其中，UO为电池两端电压，为UOC电池内部电压，该参数在一定情况下与该电池的SOC有固定的映射关系。RP1为极化电阻1，PR2为极化电阻2，i为放电电流，τ1为第一个RC回路（含有RP1）的时间常数，τ2为第二个RC回路（含有RP2）的时间常数，t为从本次放电过程开始的时间，R为电池内阻，在冲放电过程中会引起电池输出电压UOC的突变。

3）进行放电容量测试，通过可编程电子负载，将该电池以1 A的电流恒流放电，当放电容量达到soc的10%时，停止放电，静置30 min，防止电压变化。

2 电池模型参数辨识

2.1 锂电池特性测试实验

根据公式（1）（2）（3），二阶Thevenin等效电路模型需要辨识的参数有 UOC、RP1、CP1、RP2、CP2、R。为了辨识这些参数，需要对电池进行完整的充放电实验，并采集记录数据[12-13]。

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文中采用梯度下降算法。梯度下降算法是一个最优化算法，该算法在求解无约束优化问题最简单有效，其核心思想就是沿梯度下降的方向求解极小值。假定无约束极值条件，minf(x),x∈Rn。目标函数f(x)存在一阶连续偏导数，具有极小点x*，x(k)表示极小点的第k次近似，为了求得k+1的近似点x(k+1)，在 x(k)沿方向 p(k)作射线 x=x(k)+λp(k),λ≥0。将 f(x)在 x(k)泰勒展开，f(x)=f(x(k))+λ[∇f(x(k))]Tp(k)+o(λ)，对于充分小的 λ ，只要 [∇f(x(k))]Tp(k)<0，即可保证f(x(k)+λp(k))<f(x(k))，此刻取 x(x+1)=x(k)+λp(k)，就能通过迭代，是目标函数得到改善。

2）使用直流电源将该电池以先恒流后恒压的方式进行充满电，直至电压达到4.2 V，此时soc为1。充电完成后，因为锂电池的滞后效应，在室温内静置1小时，防止电压变化。

对于该模型，RP1与CP1用于描述扩散现象，这是一个放电电压缓慢稳定的过程，时间常数较大，其两端的电压是UP1；RP2和CP2是描述电池双电层部分的荷电变化，这是一个放电电压快速变化的过程，时间常数较小，其两端电压是界面过电位UP2。

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4）重复2）～3）的过程，直到soc为0。

参数UOC的辨识可以通过以上实验过程获得，在SOC从0～1，间隔为0.1的时刻得到电池电压与锂电池剩余电量SOC的关系曲线OVC-SOC，这里使用最小二乘法拟合该数据，所得结果如图2所示。

图2 ovc-soc关系曲线图

该关系式很好地描述了该过程，可以使该式辨识剩余参数。对于阶段三和阶段四，与前两个阶段类似，而充电过程保证soc不改变，故不再累述。

电池放电分为4个阶段。一阶段为电池在放电加载的一瞬间，因为内阻R承担了这个时刻的这时电压陡降。这时模型电容充电，零状态响应，整个压降由电阻R承担。所以有：

依据公式（4）可通过获得R的辨识结果。

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图3 脉冲充放电曲线图

由线性代数可以知道，p(k)=-∇f(x(k))为负梯度方向，它是函数下降最快的方向。对于该算法，步长λ的选择比较麻烦，太大了函数会发散，太小收敛速度又太慢。一般选用线性搜索算法，来确定λ。在本文中，每次新的迭代计算的λ的为上一次λ的0.5，通过此方法逼近阈值。

对于剩余的参数辨识，待电池静置充分后，选取soc在0.5处进行复合脉冲实验。复合脉冲实验是以2A的电流放电60 s，静置5 min后，1.5c的电流充电60 s，静置10分钟[13-14]，该实验所采集的数据如图3所示。

实验对象为标称电压3.7 V，充电截至电压4.3 V，放电截止电压3.3 V，额定容量2 000 mah的18 650锂电池，恒定温度为25c。实验系统的硬件部分由PC机、数据采集卡，电子负载、可编程直流电源和温度采集模块组成。实验步骤如下：

2.2 梯度下降法辨识参数

为了辨识其余参数，因为公式（5）存在多个非线性参数，并且这些参数无法线性化。如果使用类似于最小二乘法的拟合方法，需要多项式拟合并通过拟合后的数据以方程组求解的方法实现二阶模型的参数求解。使用该方法进行参数拟合极不方便，且对初值有较大依赖[15-16]，很可能造成无解或者拟合误差偏大的问题。

1）实验前使用电子负载先放空锂电池剩余电量，直至锂电池电压为3.3 V；

第二个阶段，因为电容的充电，所以电压曲线近似指数函数下降。在该阶段由（1）（2）（3）可得：

给出构造目标函数：

该构造函数表示采样点为j的电压残差平方和最小值函数，其中RP1,RP2,τ1,τ2为待辨识参数。算法步骤如图4所示。

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图4 梯度下降算法流程图

因为该模型需要辨识4个参数，存在多解的可能性，所以在选择参数初始值需要一定考虑，RP2与CP2用于描述扩散现象，时间常数τ2需要设置大于τ1。我们选定在SOC为50%的情况下，进行拟合参数。最终辨识结果如图5所示。实验曲线与拟合曲线的误差如图6所示。

图5 电池放电加载阶段曲线拟合

辨识的结果如表1所示。

2.3 仿真与验证

针对已获得的二阶模型参数辨识结果，为了验证该结果的准确性，文中采用matlab中的simulink搭建了二阶Thevenin等效电路模型仿真模型，同时搭建了使用电子负载模型，使用PID调节电池电流的大小，从而达到恒流放电的目的。如图6所示，模型中，Diode是为了使仿真正常运行所加的二极管，其导通压降为1e-4 V（可忽略不计），通过Current_con⁃trol控制可控负载达到恒流放电，二阶Thevenin等效电路模型其余参数按照表1所示设置。

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图6 Uoc误差曲线图

表1 参数辨识结果

RP2/mΩ 38.19 Soc 50 RP1/mΩ 29.8 CP2/mΩ 5.26 CP1/mΩ 1 178.7 R/mΩ 50.1

图7 二阶锂电池Thevenin仿真模型

如图7所示，通过以2 A恒流放电，验证锂电池电量在SOC为50%的脉冲放电时刻下，实验得出的Uo与仿真的误差。

从图9中可以看出，在Uo为3.94，实验数据与仿真的最大误差为时0.008 9 V，平均误差0.006 9 V，模型精度较高。其误差来源一为实验仪器存在测量精度误差，同时二阶模型不能完全模拟电池特性，所以存在一定误差。

图8 实验曲线与仿真曲线对比

图9 实验数据曲线与仿真曲线误差曲线

3 结束语

文中针对锂电池二阶Thevenin等效电路模型，介绍了参数获取的实验过程和针对模型中无法线性化的参数的辨识方法。采用梯度下降算法，根据实验测量的数据，构造了合理的目标函数，通过递归性质的逼近所设置的阈值，从而达到参数离线辨识的目的。本文为验证参数辨识精度，搭建了similink仿真模型，对比实验数据，结果表明最大误差小于2%，所给出的辨识方案是有效的，同时辨识精度较高。适于有限量测数据情况下的电动汽车电池二阶以上模型参数的离线辨识。

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