高等数学课程教学方法的优化及其案例

1 引 言

公共数学课不仅为很多专业的后续学习和科研工作提供了必不可少的重要工具，也是培养学生理性思维的重要载体.学生们的创新思维和创新能力，是他们将来创造性地应用知识乃至发现新知识的重要基础[1].因此，在公共数学课的教学中如何优化教学方法、扩充数学教育内涵、推进学生创新思维能力和综合素质的提升，这是一个关乎高校人才培养质量的重要课题.

在公共数学课的教学中，恰当地实施讨论型、研究型教学，可以大大激发和鼓励同学们的创新思维和创新能力[2，3].本文将通过几则教学实践案例，说明在高等数学课程中运用讨论型、研究型教学方法的一些思路和具体做法.

2 讨论型教学法的应用与实践

讨论型教学法是指在教师的引导下，由学生来完成学习、掌握知识、形成科学素养的过程，是合作学习的主要形式.高等数学因其高度的理论性、抽象性和严密的逻辑性等特点，在一定程度上造成了课堂气氛相对严肃而沉闷.恰当地运用讨论型教学法，可以活跃课堂气氛、加强师生互动.讨论、切磋、思辨的过程有效地调动了学生的主观能动性和创新欲望，学生的学习潜能被很好地激发出来.

（3）“就业素质提升”包含“可学到技能技术的”“可学到知识的”“可强化就业素质的”这三个自由节点，指的是个体在“再就业培训参与决策”前对“培训项目在促进就业素质提升”方面形成的前景价值判断。

2.1 讨论型教学的具体思路

在高等数学的教学中，根据教学目的和教学要求，教师精制了一些题引子，以学生为主导来对教学内容进行开放式延伸讨论，多角度发问和探究，一方面通过课堂上的学生分组讨论、课堂展示，另一方面通过课后的每周一题(评选最佳答主)、电子邮件切磋、教学班微信群在线讨论、提交小论文等多种形式进行师生讨论交流，很好地调动了学生的求知欲和创新欲望，激发了学生的学习潜能，有助于培养同学们的创新性思维方式和推理方式.

2.2 讨论型教学的实践案例

在下面这个教学案例中，大家对这样一个求不定积分问题展开了广泛讨论和全面分析.

研究型教学是一种带有研究因素的教学方法，其教学理念是在传授知识的过程中，教师与学生双方以平等参与者的身份，经过探讨、研究去认识新的知识，着力培养学生创造思维能力、获取知识的能力以及灵活运用知识来分析问题、解决问题的能力.

5.2.4 加强水、电计量同步管理 严格按照《水法》及《甘肃省实施最严格的水资源管理办法》等管理法规，制定完善本灌区水资源供给管理制度，配齐用水监督和管理队伍，发挥灌区委员会职能，做好灌区农业灌溉节水技术技能培训，积极配合农民用水协会开展灌溉期巡检助农服务。

在讲完不定积分整章内容后，教师重新调出第4.1节中的这道习题，以其为题引子来牵出对不定积分内容的全面复习，贯穿全章梳理学习过的不定积分求取方法.

不再通过求导验证，转而考虑

1958年建成投产到2017年底，兰州石化累计加工原油2.6亿吨、生产乙烯1055万吨，累计上缴税费1259亿元，2009年以来连续成为甘肃省纳税超百亿元企业。近5年，公司每年上缴税费平均占甘肃省大口径财政收入的8.6%，占甘肃省税收收入的10.6%，有力地支持了当地经济建设和社会发展。

(1)

分析二： 有的同学先将x-x2因式分解为x(1-x)，转化为处理的问题后再作根式代换.

接下来，请同学们讨论：

(一)该题中给出的三个原函数是如何得到的？

分析一： 很多同学的想法是先去根号，再将分母中开口向下的一元二次多项式转化为常数与完全平方式的差后，发现无需作三角代换，可利用基本积分公式中的

当然，也可以类似得到

上面得到的两个结果分别是原题中给出的答案1和2.

②加强病情监护（Ⅲ）：评估神经状态，监测血压、心率、呼吸频率、血氧饱和度，记录体重、腹围变化、24 h尿量、排便次数，性状等；建议完善病因及病情评估相关实验室检查，包括PT/INR、纤维蛋白原、乳酸脱氢酶、肝功能、血脂、电解质、血肌酐、尿素氮、血氨、动脉血气和乳酸、内毒素、嗜肝病毒标志物、铜蓝蛋白、自身免疫性肝病相关抗体检测、球蛋白谱、脂肪酶、淀粉酶、血培养、痰或呼吸道分泌物培养，尿培养；进行腹部超声波（肝、胆、脾、胰、肾，腹水）、胸片、心电图等物理诊断检查，定期监测评估[10]。有条件单位可完成血栓弹力图、凝血因子V、凝血因子Ⅷ、人类白细胞抗原（HLA）分型等。

首先，引导同学们考查被积函数的特点：以分式形式给出的初等函数，其中分母是一元二次多项式的算术平方根式；易求得被积函数的自然定义域为0<x<1.

上面所得的结果即为原题中给出的答案3.

或

原问题的追溯已经尘埃落定.

进一步地，

(二)请同学们继续展开讨论和分析：对于被积函数中的根式还有什么处理办法？

该题意在考查原函数的概念，学生只要对三个函数分别求导验证即可.

分析三： 有的同学提出可否通过因式分解先将一元二次多项式拆分后再辟蹊径.

或

分析四： 有的同学基于该分式重点在于分母，可以尝试一下倒代换，即令x=1/t. 由0<x<1，可得t>1.

根据已有控制资料分析，该地区采用克拉克1880椭球，6°分带的UTM投影。根据三个起算控制点，在测区做检核点H01、H02、H03，三点互相通视，求出其坐标值，用徕卡全站仪测量两两点之间的距离，全站仪测距参数如下：温度：30 ℃；大气压：1 010 MPa；湿度：82%。可得全站仪测量边长与坐标反算边长的对比，见表1。

逆向追踪这种方式一开始就激起了同学们刨根问底的兴趣，大家兴味盎然地进行讨论，重新认识了原问题，加深了对不定积分诸多方法的理解，竟然还发现了另外一片洞天，原问题(旧瓶)里产出了其它形式的一些结果(新酒).

从实践效果来看，这种在教师指导下以学生为主导来展开讨论的教学方法，不仅有助于培养同学们用整体、综合的观点来解决问题的能力以及创新性思维能力，也锻炼了大家的合作学习能力.

有疑必问，一个没有疑问的学生不是一个会独立思考的学生。在教学中，教师要鼓励学生不断的“发现新问题”、“提出新问题”。因为学生经过独立思考，必然产生疑问，要求解决问题的心情迫切，这就形成了学习的最佳状态。学生自觉调动独立思考的积极性，必然产生最佳学习效果。经过这样思维的过程，一定会加强学生的思考能力。

3 研究型教学法的应用与实践

同济版《高等数学》第七版上册第4章不定积分之习题4-1中的第7题为：证明函数arcsin(2x-1)，arccos(1-2x)和都是的原函数[4].

3.1 研究型教学的具体思路

例题在数学教学中发挥着重要作用，教师针对每节的内容设计了对应的富有启发性和延伸性的例题.高斯说过，“宁可少些，但要好些”.教师致力于对例题罄其用，引导同学们发散思考，从尽可能多的方向进行各种延拓或改编，展开研究型教学.

同时，尊重学生个体差异，注重个性化发展与多样化教育，因材施教，引导学生进行课后自主研究型学习.教师在每次布置的课后作业中设有一道开放式的习题，请同学们从老师给出的原始题目出发，分析、调整，对其独立改编，衍生出一系列不同难度和规模的个性化题目并完成.另一方面，引导同学们根据自身情况，对课堂教学的知识点作个性化的适度拓展，利用中国期刊网等资源调研相关文献，研读并交流.比如，无穷多个无穷小的乘积问题；正项级数的比值审敛法与根值审敛法的关系问题等.通过研究型学习，学生个体的内在潜力得到不断的挖掘和发挥.

3.2 研究型教学的实践案例一

下面先来看这个关于求极限问题的教学案例.

教师在讲完求极限的例题后，首先引导同学们考虑其中函数g(x)满足(c为常数)，可以得到

进一步地，提出：设函数f(x)与g(x)都是在自变量x的某一变化过程中的无穷小，f(x)>0且f(x)≡1，考虑limfg.与前面的分析类似，不难发现

只要(c为常数)，则可推出

通过对原问题层层递进的探究，同学们加深了对00型幂指函数极限问题的理解.

由此，自然还可以得到

3.3 研究型教学的实践案例二

在接下来的这个实际教学案例中，师生们对一个积分问题展开了链式探究.

初探：考虑

(2)

常规方法是先换元，令从而转化为处理有理函数的不定积分问题.换个思路来看，函数sinx与cosx的关系如此密切，能否综合运用被积函数的性质来给出更为简洁的求取方法？

“说话痛快点，别像娘们似地吭吭唧唧！你们外地人都这操兴，事儿妈似的。”房东说。“是不是不想租了？不想租就说。早有哥儿们想让我把房子收回来，租给他养藏獒呢。房租高你一倍。但我不能那么做。”

引导同学们分析被积函数的特点，分母中sinx与cosx互换对称，那么很自然地就会考虑分子中的sinx若换作cosx将会怎样？另外，注意到(sinx+cosx)′=cosx-sinx，因此如果分子是cosx-sinx，则直接凑微分即可.于是

微生态制剂源自于微生态学原理学，其具有保护或调节微生态平衡的功能，通过对宿主产生益生菌或者通过促进有益物质生成而制备成的制剂，主要起到预防、调节和治疗疾病的作用。平板菌落计数法是将待测样品经过适当稀释，将稀释后的样品在一定条件下进行培养，培养后得到的样品中所含菌落的数量，在一般情况下认为将一个肉眼直观可以看见的菌落代表一个单细胞。选择一个合适的稀释度并乘以相应的稀释倍数就可以比较准确地获得样品中微生物的具体数量。平板菌落计数法以其具有良好的重复性，并可以相对准确地体现样品中活菌数量的优点，成为了如今我国卫生标准规定所认定可行的方法，并且在食品药品研究领域得到了广泛的应用。

因此，

水利风景区的水体不同于一般滨水风景区。对于水库型的水利风景区而言，必须严格控制水体的开发强度和方式，对一切有损于水生态的项目要坚决禁止，以保证附近居民和供水地的用水安全。因此在一定程度上，水上活动受制于安全用水的要求。对于以防洪、发电功能为主的水利风景区，可以在相关工程监测基础上适当发展相关水上项目，但仍需保证水体的清洁和生态。

团队舆论是为多数人赞同的言论，公平、公正、健康向上的团队舆论是团队赖以生存的前提，对队员的言行有强烈的影响力。队员平时的训练、游戏、比赛能流露与表现其思想，年轻教师要善于抓住好的或不良的现象，及时进行针对性的集体教育与个别教育，加强队员人生观、价值观教育的同时，充分利用团队合作培养队员的团队精神。如足球、篮球、排球的分组赛、男女混全异程接力赛、校园团队越野赛、“信任背摔”接力赛、“有轨电车”接力赛等，既培养队员团结协作的团队精神又可加强公正、公平的胜负观，集体观。通过队员身边的典型例子，因势利导，牢牢掌控好团队健康、阳光、正气的舆论主动权，培养良好的训风、赛风、队风，增强团队凝聚力。

我的一个教育口号就是要把学校打开。只有把学校打开，才能真正办好学校。在明德实验学校，各个委员会是学校管理不可或缺的重要力量。我们的一个优势在于一定程度上实现了办学自主——经费自主、用钱自主、用人自主（契约型教师）……此外，校长有课程领导权，才能真正实行职权改革，改革课程结构。

大家也发现，若作线性代换则有

受上面的启发，因势利导，再探：对前面的被积函数考查定积分

(3)

作线性代换不难推出

在上面的定积分问题中，无需求取出被积函数的原函数，仅需通过一个简单的线性代换，正弦函数与余弦函数得以相互转化，由此更加简单地求取定积分.

续探：分析上面的定积分求取思路利用了被积函数中分子与分母的什么特点，能否进一步推广至更一般的情形？

对于在[0，1]上连续的任意函数f(t)，任意常数考虑

(4)

比如，不是初等函数，但由(4)可得

关于握手礼的起源有两种说法：第一种是说中世纪的骑士们为了表示互相尊重，就脱下右手的护具，伸出右手和对方握一握；第二种是说原始社会的人遇到陌生人时，就会把手里的武器扔掉，并让对方摸摸掌心，以示友好，后来慢慢演化成握手礼。在中国，握手礼最早是由孙中山先生倡导的，出现在辛亥革命之后。

再比如，不是初等函数，但由(4)立得

指导教师需要给出客观合理的评价，站在科研选题整体角度分析各小组的特色以及存在的问题，并针对问题给出合理的建议。从科研选题、科研方法、科研技术、科研内容及科研成果等方面对其进行全面系统的分析，促使学生不断提高科研能力。

教学实践表明，通过对例题抽丝剥茧式的研究型教学和在教师引导下的学生课后研究型学习，同学们逐渐体会到如何蔓引株求，抓住问题的本质，并学会从已知出发去探究未知，去发现新问题、分析问题和解决问题，也更加深刻地理解到如何将数学定义、派生的性质以及衍生的方法运用于分析具体问题，举一反三，产生了积极的链式效应.

4 结 论

从高等数学的教学实践效果来看，恰当地引入讨论型、研究型教学方法不但丰富和深化了教学内容，扩充和拓展了教学信息量，而且大大激发了同学们自主学习和探究未知的热情，培养了同学们的发散思维和创新能力.在具体的教学中，教师可将讨论型、研究型教学法与其它优秀的教学法融会贯通，科学合理聚而用之，充分发挥其力量，更好地促进教学效果和教学质量的提升.

[参 考 文 献]

[1] 徐利治.徐利治谈治学方法与数学教育[M].大连：大连理工大学出版社，2008.

[2] 李伟.“高等数学”课程实施讨论式教学的几个问题[J].大学数学，2010，26(2):14-16.

[3] 杨万必.关于理工科高等数学研究型教学与大学生创新意识培养研究的构想[J].大学数学，2010，26(6):1-4.

[4] 同济大学数学系.高等数学(上册)[M].7版.北京：高等教育出版社，2014.