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试析数学思想的含义及基本特征江苏省连云港教育科学研究所 臧雷 近几年数学教育界议论的热门话题之一是“数学思想”这一术语。那么，究竟什么是数学思想呢？目前还未形成精确的定义，比较一致的认识是，数学思想是人们对数学知识和数学方法的本质认识。为了深化数学思想的教学，有必要对数学思想的基本含义、特征进行探讨。一、数学思想的基本含义如何理解数学思想是人们对“数学科学的本质及规律的深刻认识”呢？笔者认为应该从以下两个方面来理解。一种是狭义理解，主要是就中学数学知识体系而言。中学数学思想往往是指数学思想中最常见、最基本、较浅显的内容。比如函数思想、化归思想等等。这些最常见、最基本的数学思想也是从某些具体的数学认识过程中提升出来的认识结果或观点，并在后继的认识活动中被反复运用和证实其正确性。例如当我们具体求解方程2x+3=0时，认识到解形如ax+b=0这种方程就是转化为x=A这种形式，并且还能进一步认识到解形如ax2+bx+c=0的方程，实质上也是转化为x2=A再转化x2=B这种形式。因而，确认这种认识（化归思想）是解方程的“法宝”。所以，在中学数学教学中，人们普遍比较重视这种认识结果的应用的数学。我们经常会在各种数学期刊上发现“浅谈××思想的教学”、“××思想的应用”这类文章，也就不足为怪了。另一种是广义理解，即数学思想除以上所述内容外，还应包括关于数学概念、理论、方法以及形态的产生与发展规律的认识。“数学思想的历史是数学基本概念、重要理论产生和发展的历史，也是哲学家和数学家的数学观发展的历史”[1]，从数的概念的形成和发展，到微积分的产生及现代数学各分支的形成，即对数学发展中所创立的新概念、新理论、新模型和新方法的认识都可以纳入数学思想范畴。就中学数学知识内容而言，数的演变与形成，负数产生的背景，数轴概念的形成直至函数理论体系的发展过程等，都体现数学研究和发展的思想。又如数学中的许多规定。如a0=1(a≠0),0!=1等，探究规定的合理性、必要性、优越性也就是探究者数学思想的发展过程。数学知识的发展过程也是参与者数学思想的孕育、发生过程。因此，数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”[2]，又包括对数学的起源和发展，数学的本质和特征，数学内容各分支各体系之间对立统一关系的认识，数学与现实世界的关系及地位作用的认识。顺便再谈谈对数学思想方法的认识。一般来讲，数学方法是人们从事数学活动时的程序、途径，是实施数学思想的技术手段。我们可以作一个比喻，数学思想相当于建筑的一张蓝图，数学方法则相当于建筑施工的手段。数学思想的内隐的，而数学方法是外显的；数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华。若从狭义角度理解数学思想，往往把某一数学成果笼统地称之为数学思想方法，而当用它去解决某些具体数学问题时，又可具体称之为数学方法。比如，用“化归”去解方程 ,就是化归方法，而当评价它在数学体系中的自身价值的意义时，又可称之为数学思想，比如考察“化归”在整个方程体系中的价值和意义时，就会自然将其升华为化归思想。若从广义角度理解，人们比较注重数学发展中的重大贡献、数学家的创见和发明，突出其文化功能、思想价值，以及对社会、科技进步、发展的意义，因而更多称之为数学思想。二、数学思想的基本特征1．导向性。所谓数学思想的导向性是指：它是研究数学和解决数学问题的指导思想，是数学思维的策略。数学思想的导向性表现在它既是数学产生和发展的根源，又是建立数学体系的基础，还是解决具体问题“向导”。正如日本学者米山国藏所说：“数学的精神、思想是创造数学著作，发现新的东西，使数学得以不断地向前发展的根源。”比如极限思想是微积分理论的基础，又是解决许多数学问题的重要方法。而在解决具体问题中，数学思想往往起主导的作用，尤其是它对产生一个好“念头”、一种好“思路”、一种好“猜想”提供了方向。当然，数学思想在指示解题的方向时，还为数学方法的具体实施留有应变的余地。例如，解一元二次方程问题，尽管化归思想指导思维活动定向于目标x=A,但具体采用哪种化归方法如配方法还是因式分解，还需具体问题具体分析。数学思想的导向性的重要价值被爱因斯坦的名言所佐证：“在一切方法的背后，如果没有一种生气勃勃的精神，它们到头来，不过是笨拙的工具。”2．统摄性。数学思想对于具体的数学知识和方法具有巨大的凝聚力，它是联系知识的纽带，具有举一纲而万目张的作用。数学思想的统摄性主要表现在两个方面。一是优化数学知识结构。虽然数学知识数量的不同是影响学生数学能力的一个方面，但是，即是有同样数量的知识点的学生，由于知识点之间联系结构的差异，也是造成学生数学能力发展不平衡的主要因素。正像金刚石和石墨都是由六个碳原子组成，但由于碳原子的结构方式不同，前者十分坚硬，后者非常松软，用映射思想可以将纵横两方面的数学知识联结。起到化繁为简、化难为易、化不可能为可能的作用。例如，用对数（映射）方法可将来问题中乘、除、乘方和开方分别化为较低层次的加、减、乘、除运算。用坐标法（映射）可将几何问题转化为代数中的数量关系。二是发展数学认知结构。数学思想在知识转化为能力的过程中起重要的中介作用。如果说能力是知识的结晶，那么思想往往起着结晶核的作用。学生在学习教材中的定义、定理、公式等外显知识时，若未能了解这些知识所蕴含的数学思想，则他们很难真正理解知识，深刻认识知识，因而，就会出现数学知识学了不少，但由于缺乏数学思想的统领，知识没有活性，能力就不可能得到发展的现象。另一方面，数学思想将分散的知识吸附起来，组成一个整体，并且能像滚雪球那样越滚越大。比如学生在掌握了用降次、消元、有理化等方法解一般代数方程之后，对化归思想有了进一步的认识，因而就会把这种思想用于解其他超越方程中去，这就推动着学生数学认知结构的不断发展。3．概括性。人们的理性认识之所以高于感性认识，是因为理性认识能反映、揭示事物的普遍的必然的本质属性和联系，这就是理性认识的一大特点。数学思想在这方面具有突出的表现，即数学思想具有较高的概括性。概括性程度的高低决定了数学思想有层次之分，概括化程度高，其“抽象度”大；对数学对象本质属性揭示得越深刻，对问题的理解也就愈透彻。例如，几何中研究各种各样的角，两角线相交所成的角，两异面直线所成的角，直线与平面所成的角，这些角的度量方法最终可由化量思想的概括性统一为两相交直线的角来度量。数学思想的概括性还表现在客观存它能反映数学对象之间的联系和内部规律上，例如有关二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式等问题往往都可以归纳为一元二次函数图象与坐标轴交点间问题的探究，同时也反映了函数思想是对数学知识的高度概括。再如数学中一些基本方法：配方法、换元法、构造法、参数法等，进一步上升概括为化归方法，再进一步上升概括为映射思想。4．迁移性。高度的概括性导致数学思想具有广泛的迁移性。这种迁移性表现在数学内部：数学思想是数学知识的精髓，这是数学知识迁移的基础和根源，是沟通数学各部分、各分支间联系的桥梁和纽带，是构建数学理论的基石。例如，对几何中有关角的度量的概括性认识可以指导我们对二面角的研究，导致二面角平面角概念的建立，又如由圆内接正多边形边倍增而趋于圆来求圆面积的极限思想可以进一步发展为分割求和的微积分思想。希尔伯特的巨著《几何基础》是迄今为止用公理公思想建立数学体系的最典型的著作。另一方面，这种迁移性表现在数学外部：它还能沟通数学与其他科学，与社会的联系，产生更加广泛的迁移。如公理化思想已超越数学理论范围，渗透到其他学科领域。17世纪的唯心主义者斯宾莎仿效《几何原本》的公理化思想，把人的思想、情感和欲望等当作几何学中的点、线、面来研究，写出了名著《伦理学》；20世纪50年代波兰数学家巴拿赫完成了理论力学的公理化。参考文献1．周述岐数学思想和数学哲学北京：中国人民大学出版社，19932．张奠宙、数学方法论稿上海：上海教育出版社，1996 出处：中学数学教学参考 1998年第5期 P1

读者》（原创版）栏目设置如下： 【独自歌唱】也就是卷首语，每期发稿1篇，要求简洁、轻灵、隽永、睿智。 【笔端流云】此栏目每期发稿3－4篇，文章要求文采飞扬，为了满足诗歌爱好者的要求，此栏目还专门开辟一个诗歌园地，每期发表1－4首诗歌。 【专访】此栏目每期发稿1篇，刊登人物访谈。记录时代人物，关注社会生活。 【天使在人间】此栏目每期发稿3－4篇，侧重体现人间的真善美，要求生动、细腻、感人。 【百家杂谈】此栏目每期发稿3－5篇，侧重体现作者对社会现象的关注和思考，要求视角新颖、入情入理，所述问题贴近大众，能引发读者共鸣。 【黄昏菩提】此栏目每期发稿3－5篇，侧重体现心灵的顿悟。 【走四方】此栏目每期发稿2－3篇，侧重作者的亲历色彩，读后使人产生天高云淡的开阔心境，尤其欢迎关于异地、异域经历的稿件。 【心的对话】此栏目每期发稿4－6篇，侧重体现人与人之间真实感情的交流。 【人在旅途】此栏目每期发稿4－6篇，侧重对人生某个片断、某段历史、某段轨迹的思考和追忆。 【恋恋风尘】此栏目每期发稿3－6篇，侧重体现少男、少女朦胧的情愫或者青少年男女之间美好感情，尤其欢迎充满淡雅、青涩味道的文章。 【城南旧事】此栏目每期发稿3－6篇，侧重温馨疏缓的故事，尤其欢迎温馨而亲切的文章，使人读后产生怀古的清愁。 【无关风月】此栏目每期发稿3－9篇，此栏目可以神游四海，笔至八方。时间万物万事，皆可入笔。 【交流】此栏目用于编辑、读者和作者之间的交流。 随着杂志的发展，我们将适应读者需求，对栏目进行增删和调整。 投稿须知： 一、未曾在纸质媒介公开发表过。 二、题材、体裁不限，风格不拘。文笔简练，短小精悍。鼓励新人新作。投稿时请附作者简介。 三、一经选用，杂志出版后即付稿酬和样刊。本刊稿酬为每千字300元～600元。 四、投稿方式：邮寄：（730030）兰州市中央广场邮局《读者》信箱《读者》（原创版）编辑部 本刊唯一投稿电子信箱： 五、不退稿，请自留底稿。1个月未接到用稿通知者可自行处理。请注明详细联系方式（电话、地址等），以便及时取得联系 其他一些网友关注的问题： Q：在网络中发表过的（论坛、博客等）文章是否可以向《读者》（原创版）投稿？ A：可以。只要没有在报刊等纸质媒体上发表过就行。 Q：投稿多久会有回复？是否可以查询自己的文章？ A：因为人力有限，不能对稿件一一回复，还请谅解。同时因为稿件较多，所以不便查找。如果您的稿件被刊用，我们会尽快与您联系。 Q：如何登录《读者》网站？ A：请点击网址 登录读者网 Q：投稿是否可以把文章贴在《读者》（原创版）博客上？ A：投稿请发至 Q：如何购买《读者》（原创版）过刊？ A：购买过刊，请拨打0931—8773350或汇款（每册3元）至（730030）兰州市中央广场邮局《读者》信箱 白熠峰（收） Q：是否接受幽默、言论、童话、诗歌等形式的投稿？ A：接受，投稿题材、体裁不限。 Q：用电子邮件投稿是否可以收到阅读回执？ A：很抱歉，不发送回执，因为编辑看稿时是在脱机状态下用OUTLOOK浏览的。 Q：个人简介怎么写？ A：最重要的是写清个人的联系方式，包括电话、地址、姓名、邮编、电子信箱。当然，还可以简单介绍一下自己发表的作品。 Q：电子邮件能不能用附件发送？ A：最好不要带附件。 《意林》杂志的办刊宗旨： 以“一则故事，改变一生”为宗旨，通过“小故事大智慧、小故事大道理、小视角大意境”，坚守“励志、感动、启迪、提升”的办刊理念，致力打造中国乃至全球都深具影响的励志传媒。 意林杂志主要读者对象： 目前读者年龄主要集中在13－45岁的社会各界人士，重点是在校学生（初中、高中、大学）。 意林杂志栏目设置： 智慧札记、心灵鸡汤、世间感动、成功之钥、有智斯有成、人与社会、生活之友、新知博览、专栏、浮世绘等 《青年文摘》 原创 原创投稿只接受用户原创的作品，旨在读者的作品展示和交流。 经编辑审核后通过的作品将显示在“原创”频道下的各级子栏目中，特别优秀的原创作品除在网站录用外，还有获得杂志选用的机会。 发布在“青年文摘网”上的原创稿件一律没有稿费，获杂志选用后，将按照既定标准支付稿酬，请注意区别。 只希望投向杂志、拒绝网登的原创作品，在标题、投稿正文明显位置注明。 原创投稿谢绝推荐非个人创作的稿件，如果推荐他人创作的稿件请选择“杂志荐稿”，未按照要求选择投稿栏目的稿件，编辑有权直接删除。 原创投稿请自行选择具体分类，可选择的分类有： # 成长记事 # 爱情小调 # 真情暖爱 # 七彩生活 # 心灵笔记 # 激扬文字 # 舞文弄墨 # 原创连载 如果未选择具体子分类，默认编辑可以修改分类。 杂志荐稿 杂志荐稿接受非原创的推荐稿件，获采用的稿件将发表在《青年文摘》杂志的各版上，并根据既定标准向原作者、出版单位支付使用费，向推荐人支付推荐费。 在荐稿中请务必注明文章的原作者信息、原文出处（网络文章请写明网址）及日期。 在投稿中务必注明推荐人真实姓名及联系方式（电话号码、E-mail）等，以方便我们能及时与您取得联系。 荐稿人可在投稿中注明推荐给哪版杂志（红绿、彩或电子杂志），没有特别投向的稿件，由各版编辑酌情选用。

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307 四川《教育导报》 308 四川《课堂内外》 309 四川《课堂内外●创新作文》3-6 310 四川《少年时代》12 311 四川《少年时代》3-6 312 四川《娃娃丫丫》12 313 四川《小学生生活》 314 天津《开心学堂》 315 天津《求知报》 316 天津《少年心世界》 317 天津《同学少年》 318 天津《童话王国（原创版）》 319 天津《小学生作文》（低） 320 天津《小学生作文》56 321 香港《儿童报》 322 云南《蜜蜂报》 323 云南《学生新报》 324 浙江《21世纪少年作家》 325 浙江《轻松学语文》 326 浙江《少年作家》 327 浙江《未来作家报》3-6 328 浙江《小爱迪生》 329 浙江《小学生时代》 330 浙江《小学生世界》12 331 浙江《幽默大师》 332 浙江《幼儿智力世界》 333 浙江《智慧》读写 334 浙江《作文新天地》 335 重庆《少年读者》12 xueyuwen_ 336 重庆《少年读者》3-6 xueyuwen_ 337 重庆《少年先锋报》 338 重庆《世界儿童》 339 重庆《小学生新作文》 xzw@new- 340 重庆《小学生阅读》 希望此回答对您有帮助。 更多346条 

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242 山东《红蕾》3-6 243 山东《金笔小作家报》3-6 244 山东《齐鲁少年》 245 山东《山东青年报教育周刊》 246 山东《少年天地写作》 247 山东《小葵花》读写 248 山东《沿海作文报》 249 山东《中国小作家》 250 山东《小笔头作文》 251 山东《作文总动员》 252 山西《青少年日记》 253 山西《小学生●新读写》 254 山西《小学生拼音报》12 255 山西《小学生拼音报》34 256 山西《小学生拼音报》56 257 山西《小学生杂志》 258 山西《新课程》34 259 山西《新课程》56 260 山西《新作文》 261 山西《学习报》34 262 山西《学习报》56 263 山西《学习方法报》1 264 山西《学习方法报》2 265 山西《学习方法报》3 266 山西《学习方法报》4 267 山西《学习方法报》6 268 山西《语文报》12 269 山西《语文报》34 270 山西《语文报》56 270 山西《语文报》56 271 山西《中外童话故事》 272 山西《作文周刊》（3） 273 山西《作文周刊》（5） 274 山西《作文周刊》12 275 山西《作文周刊》4 276 山西《作文周刊》6 277 陕西《爱读写》12 278 陕西《爱读写》3-6 279 陕西《快乐日记》 280 陕西《快乐童话》 281 陕西《快乐新语文》1-3 282 陕西《快乐新语文》4-6 283 陕西《快乐作文与阅读》 284 陕西《趣味语文》12 285 陕西《趣味语文》3-6 286 陕西《少年月刊》12 287 陕西《少年月刊》3-6 288 陕西《童话party》 289 陕西《童话世界》A版 290 陕西《童话世界》B版 291 陕西《兴趣语文与阅读》 292 陕西《幽默小读者》 293 陕西《做人与作文》 294 上海《冰心少年文学》 295 上海《儿童时代》12 296 上海《儿童时代》3-6 297 上海《少年日报》 shshaonianbao@ vn 298 上海《为了孩子》 299 上海《小青蛙报》12 300 上海《小学科技》 301 上海《小主人报》 302 上海《中文自修》 zhang_ 303 上海《作文世界》 304 上海《作文世界》 305 四川《红领巾●成长》 306 四川《红领巾●萌芽》 xom 307 四川《教育导报》 308 四川《课堂内外》 309 四川《课堂内外●创新作文》3-6 310 四川《少年时代》12 311 四川《少年时代》3-6 312 四川《娃娃丫丫》12 313 四川《小学生生活》 314 天津《开心学堂》 315 天津《求知报》 316 天津《少年心世界》 317 天津《同学少年》 318 天津《童话王国（原创版）》 319 天津《小学生作文》（低） 320 天津《小学生作文》56 321 香港《儿童报》 322 云南《蜜蜂报》 323 云南《学生新报》 324 浙江《21世纪少年作家》 325 浙江《轻松学语文》 326 浙江《少年作家》 327 浙江《未来作家报》3-6 328 浙江《小爱迪生》 329 浙江《小学生时代》 330 浙江《小学生世界》12 331 浙江《幽默大师》 332 浙江《幼儿智力世界》 333 浙江《智慧》读写 334 浙江《作文新天地》 335 重庆《少年读者》12 xueyuwen_ 336 重庆《少年读者》3-6 xueyuwen_ 337 重庆《少年先锋报》 338 重庆《世界儿童》 339 重庆《小学生新作文》 xzw@new- 340 重庆《小学生阅读》 希望此回答对您有帮助。 更多346条 