梅涅劳斯定理如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点,那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。证明:过点A作AG‖BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1它的逆定理也成立:若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上,且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1,则F、D、E三点共线。利用这个逆定理,可以判断三点共线。托勒密(Ptolemy)定理圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积证:在四边形ABCD中,连接AC,作角ABE=角ACD,角BAE=角CAD则三角形ABE和三角形ACD相似所以 BE/CD=AB/AC,即BE*AC=AB*CD (1)又有比例式AB/AC=AE/AD而角BAC=角DAE所以三角形ABC和三角形AED相似BC/ED=AC/AD即ED*AC=BC*AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB*CD+AD*BC又因为BE+ED>=BD所以命题得证1. 塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点, AB、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 证法简介 (Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明: ∵△ADC被直线BOE所截, ∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ① 而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1② ①÷②:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 (Ⅱ)也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 广勾股定理 勾股定理反映了直角三角形三边之间的度量关系,即“斜边的平方等于两直角边的平方之和”.如果不是直角三角形,而是锐角或钝角三角形,那么它们的三边之间存在怎样的度量关系呢?这就涉及到广勾股定理了.广勾股定理:在任一三角形中, (1)锐角对边的平方,等于其他两边之平方和,减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍.(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和,加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍. 证明 (1)设△ABC中,BC是锐角A的对边(图2-4).作BH⊥AC于H,因为AB2=BH2+AH2,BC2=BH2+CH2, 所以,BC2-AB2=CH2-AH2.∴BC2=AB2+CH2-AH2. (1) 但是CH2=(AC-AH)2 =AC2-2AC·AH+AH2. (2)将(2)代入(1)就得到BC2=AB2+AC2-2AC·AH.(当H在AC边的延长线上时,结论是一样的.)圆幂定理