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矩阵的运算 1、矩阵的加法 ： 如果 是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说 ），则定义它们的和 仍为与它们同型的矩阵（即 ）， 的元素为 和 对应元素的和，即： 。 给定矩阵 ，我们定义其负矩阵 为： 。这样我们可以定义同型矩阵 的减法为： 。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列 运算律： （ 1）交换律： ； （ 2）结合律： ； （ 3）存在零元： ； （ 4）存在负元： 。 2 、数与矩阵的乘法 ： 设 为一个数， ，则定义 与 的乘积 仍为 中的一个矩阵， 中的元素就是用数 乘 中对应的元素的道德，即 。由定义可知： 。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律： （1 ） ； （2 ） ； （3 ） ； （4 ） 。 3 、矩阵的乘法：设 为 距阵， 为 距阵，则矩阵 可以左乘矩阵 （注意：距阵 德列数等与矩阵 的行数），所得的积为一个 距阵 ，即 ，其中 ，并且 。 据真的乘法满足下列 运算律（假定下面的运算均有意义）： （ 1）结合律： ； （ 2）左分配律： ； （ 3）右分配律： ； （ 4）数与矩阵乘法的结合律： ； （ 5）单位元的存在性： 。 若 为 阶方阵，则对任意正整数 ，我们定义： ，并规定： 由于矩阵乘法满足结合律，我们有： ， 。以上回答你满意么？
告诉你拟就会写吗。不如我给你写得了
随着现代科学的发展，数学中的矩阵也有更广泛而深入的应用，下面列举几项矩阵在现实生活中的应用：矩阵在经济生活中的应用可“活用”行列式求花费总和最少等类似的问题；可“借用”特征值和特征向量预测若干年后的污染水平等问题。在人口流动问题方面的应用这是矩阵高次幂的应用，比如预测未来的人口数数、人口的发展趋势。矩阵在密码学中的应用可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。矩阵在文献管理中的应用比如现代搜索中往往包括几百万个文件和成千的关键词，但可以利用矩阵和向量的稀疏性，节省计算机的存储空间和搜索时间。
矩阵在许多领域都应用广泛。有些时候用到矩阵是因为其表达方式紧凑，例如在博弈论和经济学中，会用收益矩阵来表示两个博弈对象在各种决策方式下的收益。文本挖掘和索引典汇编的时候，比如在TF-IDF方法中，也会用到文件项矩阵来追踪特定词汇在多个文件中的出现频率。早期的密码技术如希尔密码也用到矩阵。然而，矩阵的线性性质使这类密码相对容易破解。计算机图像处理也会用到矩阵来表示处理对象，并且用放射旋转矩阵来计算对象的变换，实现三维对象在特定二维屏幕上的投影。多项式环上的矩阵在控制论中有重要作用。化学中也有矩阵的应用，特别在使用量子理论讨论分子键和光谱的时候。具体例子有解罗特汉方程时用重叠矩阵和福柯矩阵来得到哈特里－福克方法中的分子轨道。
用 Matlab 的计算结果为:>> eig(M) --所有特征值ans = 2440 -0508 + 1914i -0508 - 1914i -0700 + 3578i -0700 - 3578i -0012 + 4447i -0012 - 4447i >> [V,D]=eig(M);V = -1095 -0304 - 1721i -0304 + 1721i 0028 - 1205i 0028 + 1205i -0541 + 0663i -0541 - 0663i -2101 -2705 + 1361i -2705 - 1361i -0509 + 0948i -0509 - 0948i -0975 + 0886i -0975 - 0886i -0971 -0643 - 0853i -0643 + 0853i 0131 + 0898i 0131 - 0898i 0320 - 1127i 0320 + 1127i -5480 0704 + 3319i 0704 - 3319i -8279 -8279 6851 6851 -6156 3127 - 0519i 3127 + 0519i 2889 - 1771i 2889 + 1771i 3410 + 5184i 3410 - 5184i -322 每一列是对应的特征向量对的不齐, 对应 特征值 2440 的特征向量是 -1095 -2101 -0971 -5480 -6156 -3220 -3892
薛定谔方程的矩阵化求解或 从光的波动方程到薛定谔方程，这个其实很简单啊，，我就可以给你一篇
259277415025050 对应特征向量是[ -116997167441975 -212646881101196 -097892015834642 -551413048148536 -618053549490789 -307948894673135 -388112172660547 ]matlab 计算的结果全部特征值为 259277415025050 -053504980332110 + 176073617842264i -053504980332110 - 176073617842264i 016194078063607 + 529700668549696i 016194078063607 - 529700668549696i -092327805244027 + 443251391431234i -092327805244027 - 443251391431234i
很乐意的帮你，弄好。
可以尝试一下，不过有难度
这个矩阵论文题其实就是设计数据分析和数理统计的问题，这个科二需要全程认真收听一下，拉不上就全部跟不上了。
很不好意思，我看到你这个问题，我就害怕了，因为这个研究生三个字就把我搞蒙了，我一个小学生只能灰溜溜的离开了
初等代数从最简单的一元一次方程开始，一方面进而讨论二元及三元的一次方程组，另一方面研究二次以上及可以转化为二次的方程组。沿着这两个方向继续发展，代数在讨论任意多个未知数的一次方程组，也叫线型方程组的同时还研究次数更高的一元方程组。发展到这个阶段，就叫做高等代数。 高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步、多项式代数。 高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。 集合是具有某种属性的事物的全体；向量是除了具有数值还同时具有方向的量；向量空间也叫线性空间，是由许多向量组成的并且符合某些特定运算的规则的集合。向量空间中的运算对象已经不只是数，而是向量了，其运算性质也由很大的不同了。 高等代数发展简史 代数学的历史告诉我们，在研究高次方程的求解问题上，许多数学家走过了一段颇不平坦的路途，付出了艰辛的劳动。 人们很早就已经知道了一元一次和一元二次方程的求解方法。关于三次方程，我国在公元七世纪，也已经得到了一般的近似解法，这在唐朝数学家王孝通所编的《缉古算经》就有叙述。到了十三世纪，宋代数学家秦九韶再他所著的《数书九章》这部书的“正负开方术”里，充分研究了数字高次方程的求正根法，也就是说，秦九韶那时候以得到了高次方程的一般解法。 在西方，直到十六世纪初的文艺复兴时期，才由有意大利的数学家发现一元三次方程解的公式——卡当公式。 在数学史上，相传这个公式是意大利数学家塔塔里亚首先得到的,后来被米兰地区的数学家卡尔达诺(1501～1576)到了这个三次方程的解的公式，并发表在自己的著作里。所以现在人们还是叫这个公式为卡尔达诺公式(或称卡当公式)，其实，它应该叫塔塔里亚公式。 三次方程被解出来后，一般的四次方程很快就被意大利的费拉里(1522～1560)解出。这就很自然的促使数学家们继续努力寻求五次及五次以上的高次方程的解法。遗憾的是这个问题虽然耗费了许多数学家的时间和精力，但一直持续了长达三个多世纪，都没有解决。 到了十九世纪初，挪威的一位青年数学家阿贝尔(1802～1829)证明了五次或五次以上的方程不可能有代数解。既这些方程的根不能用方程的系数通过加、减、乘、除、乘方、开方这些代数运算表示出来。阿贝尔的这个证明不但比较难，而且也没有回答每一个具体的方程是否可以用代数方法求解的问题。 后来，五次或五次以上的方程不可能有代数解的问题，由法国的一位青年数学家伽罗华彻底解决了。伽罗华20岁的时候，因为积极参加法国资产阶级革命运动，曾两次被捕入狱，1832年4月，他出狱不久，便在一次私人决斗中死去，年仅21岁。 伽罗华在临死前预料自己难以摆脱死亡的命运，所以曾连夜给朋友写信，仓促地把自己生平的数学研究心得扼要写出，并附以论文手稿。他在给朋友舍瓦利叶的信中说：“我在分析方面做出了一些新发现。有些是关于方程论的；有些是关于整函数的……。公开请求雅可比或高斯，不是对这些定理的正确性而是对这些定理的重要性发表意见。我希望将来有人发现消除所有这些混乱对它们是有益的。” 伽罗华死后，按照他的遗愿，舍瓦利叶把他的信发表在《百科评论》中。他的论文手稿过了14年，才由刘维尔(1809～1882)编辑出版了他的部分文章，并向数学界推荐。 随着时间的推移，伽罗华的研究成果的重要意义愈来愈为人们所认识。伽罗华虽然十分年轻，但是他在数学史上做出的贡献，不仅是解决了几个世纪以来一直没有解决的高次方程的代数解的问题，更重要的是他在解决这个问题中提出了“群”的概念，并由此发展了一整套关于群和域的理论，开辟了代数学的一个崭新的天地，直接影响了代数学研究方法的变革。从此，代数学不再以方程理论为中心内容，而转向对代数结构性质的研究，促进了代数学的进一步的发展。在数学大师们的经典著作中，伽罗华的论文是最薄的，但他的数学思想却是光辉夺目的。 高等代数的基本内容 代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等。 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解。 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 高等代数与其他学科的关系 代数学、几何学、分析数学是数学的三大基础学科，数学的各个分支的发生和发展，基本上都是围绕着这三大学科进行的。那么代数学与另两门学科的区别在哪儿呢？ 首先，代数运算是有限次的，而且缺乏连续性的概念，也就是说，代数学主要是关于离散性的。尽管在现实中连续性和不连续性是辩证的统一的，但是为了认识现实，有时候需要把它分成几个部分，然后分别地研究认识，在综合起来，就得到对现实的总的认识。这是我们认识事物的简单但是科学的重要手段，也是代数学的基本思想和方法。代数学注意到离散关系，并不能说明这时它的缺点，时间已经多次、多方位的证明了代数学的这一特点是有效的。 其次，代数学除了对物理、化学等科学有直接的实践意义外，就数学本身来说，代数学也占有重要的地位。代数学中发生的许多新的思想和概念，大大地丰富了数学的许多分支，成为众多学科的共同基础。
1、在电脑上打开word应用程序，在界面的右上角找到公式选项，并点击打开。2、在跳转的公式编辑器界面中插入矩阵外边的括号。3、插入里面的行和列，点击，会出来一个矩阵对话框，我们在里面输入行数和列数。4、在跳转的矩阵界面中，输入矩阵的相关参数。5、之后在矩阵图中输入数字即可。
_aspx 矩阵是工程技术以及经济管理等领域的不可缺少的数学工具,凡是用到矩阵的地方,基本上都要涉及广义逆矩阵,尤其数值分析与数理统计有着重要作用广义逆矩阵共15类,但最常用有5类,包括A{1},A{1,2},A{1,3},A{1,4},A{1,2,3,4}主要讨论这5类广义逆矩阵的计算及其应用作 者： 马秀珍 韩静华 MA Xiu-zhen HAN Jing-hua 作者单位： 沈阳航空工业学院理学系,辽宁,沈阳,110034 刊 名： 沈阳航空工业学院学报 英文刊名： JOURNAL OF SHENYANG INSTITUTE OF AERONAUTICAL ENGINEERING 年，卷(期)： 2005 22(2) 分类号： O14 关键词： 广义逆矩阵 矩阵方程 自反广义逆 最小范数广义逆 通解 机标分类号： 机标关键词： 广义逆矩阵应用数值分析数学工具数理统计经济管理工程技术计算 基金项目：
随机环境中经济增长模型研究广义生产函数假设下的经济增长模型分析考虑市场预期的供求关系模型基于Matlab的离散事件模拟用风险预算进行资产配置有向图上的PAR贯序模拟系统单圈图的一般Randic指标的极值问题模糊数学在公平评奖问题中的应用模糊矩阵在环境评估中的初步应用模糊评判在电脑中的初步应用数学家的数学思想Riemann积分定义的网收敛表述微积分思想在不等式证明中的应用用有限的尺度标量无限的过程-略论极限ε语言在微积分及现代数学中的位置及意义微积分思想在几何问题中的应用齐次平衡法求KdV-Burgers方程的Backlund变换Painleve分析法判定MKdV-Burgers方程的可积性直接法求KdV-Burgers方程的对称及精确解行波求解KdV-Burgers方程因子有向图的矩阵刻划简单图上的lit-only sigma-game半正则图及其线图的特征多项式与谱分数有向图的代数表示WWW网络的拓扑分析作者合作网络等的拓扑分析古诺模型价格歧视用数学软件做计算微分方程的计算器用数学软件做矩阵计算的计算器弹簧－质点系统的反问题用线性代数理论做隐含语义搜索对矩阵若当标准型理论中变换阵求法的探讨对矩阵分解理论的探讨对矩阵不等式理论的探讨(1)对矩阵不等式理论的探讨(2)函数连续性概念及其在现代数学理论中的延伸从有限维空间到无限维空间Banach空间中脉冲泛函微分方程解的存在性高阶脉冲微分方程的振动性具有积分边界条件的分数阶微分方程解的存在唯一性分数阶微分方程的正则摄动一个形态形成模型的摄动解一个免疫系统常微分方程模型的渐近解前列腺肿瘤连续性激素抑制治疗的数学模型前列腺肿瘤间歇性激素抑制治疗的数学模型病毒动力学数学模型肿瘤浸润数学模型耗散热方程初边值问题解的正则性耗散波方程初边值问题解的正则性耗散Schrodinger方程初边值问题解的正则性非线性发展方程解得稳定性消费需求的鲁棒调节生产函数的计量分析企业的成本形态分析的研究分数阶Logistic方程的数值计算分数阶捕食与被捕食模型的数值计算AIDS传播模型的全局性分析HIV感染模型的全局性分析风险度量方法的比较及其应用具有区间值损益的未定权益定价分析模糊规划及其在金融分析中的应用长依赖型金融市场股票价格与长相依性分数布朗运动下的外汇期权定价不确定性与资产定价加油站点的分布与出租车行业的关系
矩阵分解在协同过滤推荐算法中的应用推荐系统是当下越来越热的一个研究问题，无论在学术界还是在工业界都有很多优秀的人才参与其中。近几年举办的推荐系统比赛更是一次又一次地把推荐系统的研究推向了高潮，比如几年前的Neflix百万大奖赛，KDD CUP 2011的音乐推荐比赛，去年的百度电影推荐竞赛，还有最近的阿里巴巴大数据竞赛。这些比赛对推荐系统的发展都起到了很大的推动作用，使我们有机会接触到真实的工业界数据。我们利用这些数据可以更好地学习掌握推荐系统，这些数据网上很多，大家可以到网上下载。推荐系统在工业领域中取得了巨大的成功，尤其是在电子商务中。很多电子商务网站利用推荐系统来提高销售收入，推荐系统为Amazon网站每年带来30%的销售收入。推荐系统在不同网站上应用的方式不同，这个不是本文的重点，如果感兴趣可以阅读《推荐系统实践》（人民邮电出版社，项亮）第一章内容。下面进入主题。 为了方便介绍，假设推荐系统中有用户集合有6个用户，即U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}，项目（物品）集合有7个项目，即V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}，用户对项目的评分结合为R，用户对项目的评分范围是[0, 5]。R具体表示如下： 推荐系统的目标就是预测出符号“？”对应位置的分值。推荐系统基于这样一个假设：用户对项目的打分越高，表明用户越喜欢。因此，预测出用户对未评分项目的评分后，根据分值大小排序，把分值高的项目推荐给用户。怎么预测这些评分呢，方法大体上可以分为基于内容的推荐、协同过滤推荐和混合推荐三类，协同过滤算法进一步划分又可分为基于基于内存的推荐（memory-based）和基于模型的推荐（model-based），本文介绍的矩阵分解算法属于基于模型的推荐。矩阵分解算法的数学理论基础是矩阵的行列变换。在《线性代数》中，我们知道矩阵A进行行变换相当于A左乘一个矩阵，矩阵A进行列变换等价于矩阵A右乘一个矩阵，因此矩阵A可以表示为A=PEQ=PQ（E是标准阵）。 矩阵分解目标就是把用户-项目评分矩阵R分解成用户因子矩阵和项目因子矩阵乘的形式，即R=UV，这里R是n×m， n =6， m =7，U是n×k，V是k×m。直观地表示如下： 高维的用户-项目评分矩阵分解成为两个低维的用户因子矩阵和项目因子矩阵，因此矩阵分解和PCA不同，不是为了降维。用户i对项目j的评分r_ij =innerproduct(u_i, v_j)，更一般的情况是r_ij =f(U_i, V_j)，这里为了介绍方便就是用u_i和v_j内积的形式。下面介绍评估低维矩阵乘积拟合评分矩阵的方法。首先假设，用户对项目的真实评分和预测评分之间的差服从高斯分布，基于这一假设，可推导出目标函数如下： 最后得到矩阵分解的目标函数如下： 从最终得到得目标函数可以直观地理解，预测的分值就是尽量逼近真实的已知评分值。有了目标函数之后，下面就开始谈优化方法了，通常的优化方法分为两种：交叉最小二乘法（alternative least squares）和随机梯度下降法（stochastic gradient descent）。首先介绍交叉最小二乘法，之所以交叉最小二乘法能够应用到这个目标函数主要是因为L对U和V都是凸函数。首先分别对用户因子向量和项目因子向量求偏导，令偏导等于0求驻点，具体解法如下： 上面就是用户因子向量和项目因子向量的更新公式，迭代更新公式即可找到可接受的局部最优解。迭代终止的条件下面会讲到。接下来讲解随机梯度下降法，这个方法应用的最多。大致思想是让变量沿着目标函数负梯度的方向移动，直到移动到极小值点。直观的表示如下： 其实负梯度的负方向，当函数是凸函数时是函数值减小的方向走；当函数是凹函数时是往函数值增大的方向移动。而矩阵分解的目标函数L是凸函数，因此，通过梯度下降法我们能够得到目标函数L的极小值（理想情况是最小值）。 言归正传，通过上面的讲解，我们可以获取梯度下降算法的因子矩阵更新公式，具体如下： （3）和（4）中的γ指的是步长，也即是学习速率，它是一个超参数，需要调参确定。对于梯度见（1）和（2）。下面说下迭代终止的条件。迭代终止的条件有很多种，就目前我了解的主要有1） 设置一个阈值，当L函数值小于阈值时就停止迭代，不常用2） 设置一个阈值，当前后两次函数值变化绝对值小于阈值时，停止迭代3） 设置固定迭代次数另外还有一个问题，当用户-项目评分矩阵R非常稀疏时，就会出现过拟合（overfitting）的问题，过拟合问题的解决方法就是正则化（regularization）。正则化其实就是在目标函数中加上用户因子向量和项目因子向量的二范数，当然也可以加上一范数。至于加上一范数还是二范数要看具体情况，一范数会使很多因子为0，从而减小模型大小，而二范数则不会它只能使因子接近于0，而不能使其为0，关于这个的介绍可参考论文Regression Shrinkage and Selection via the Lasso。引入正则化项后目标函数变为： （5）中λ_1和λ_2是指正则项的权重，这两个值可以取一样，具体取值也需要根据数据集调参得到。优化方法和前面一样，只是梯度公式需要更新一下。矩阵分解算法目前在推荐系统中应用非常广泛，对于使用RMSE作为评价指标的系统尤为明显，因为矩阵分解的目标就是使RMSE取值最小。但矩阵分解有其弱点，就是解释性差，不能很好为推荐结果做出解释。后面会继续介绍矩阵分解算法的扩展性问题，就是如何加入隐反馈信息，加入时间信息等。